Friendship Paradox

 

This article is published in Nautilus on Aug 20,  2021 by Joshua Holden. Joshua Holden is professor of mathematics at the Rose-Hulman Institute of Technology and the author of The Mathematics of Secrets: Cryptography from Caesar Ciphers to Digital Encryption.

 --

Why You May Have More Friends Than Your Friends Do

There’s a rude charm to the title, “Why Your Friends Have More Friends Than You.” It’s catchy, like the title of an antagonistic explainer: Here are the causes of your lackluster social life. It sounds more like a New York Times op-ed than an academic paper. But in fact, “Why Your Friends Have More Friends Than You” is a 1991 paper from Scott Feld published in the American Journal of Sociology. It now has some claim to fame for introducing into popular culture the so-called “friendship paradox,” which researchers have used to detect the early onset of contagious outbreaks and design effective vaccination strategies. New research, published in the Journal of Complex Networks, suggests the paradox is more nuanced than Feld figured it to be.

The paradox stems from our poor intuitions about networks and averages. If you were to guess how many friends you have, compared to the number of friends your friends have, how would you fare? You may say it’s your friends that have more friends than you, if you’re feeling modest. But it’s also the case that some of those friends who have more friends than you also have friends who have more friends than them, and so on. The friendship paradox says that this is true for everyone—on average, everyone has friends with more friends than they have.

We have a paradox of paradoxes.

How is that possible? The paradox goes beyond friendship. It holds true any time you have a network of objects where any two of them are either connected or not connected. Mathematicians call the objects “nodes,” the connections “edges,” and the whole network a “graph.” Two nodes are “neighbors” if they are connected by an edge, and the number of neighbors of a node is called its “degree.” You can define a sort of “net popularity” of a node by taking its degree and subtracting the average degree of its neighbors. For example, if I am friends with Annika, Bing Wen, Carolina, and Daud, and Annika has (including me) three friends, Bing Wen has five friends, Carolina has seven friends, and Daud has five friends, then my net popularity is:

 4 – (3+5+7+5)/4 = -1. 

It is a mathematical fact that if you average over all of the net popularities in a network, then that average will be negative: Your friends have more friends than you do. You are more likely to be Carolina’s friend than Annika’s, exactly because Carolina has more friends. If someone has lots of friends, one of them is more likely to be you. In his paper, Feld suggested that this might be psychologically significant. People, when they wonder how many friends they ought to have, could be looking at the number of friends their friends have as a point of comparison, which will almost always leave them feeling inadequate. A 2017 paper identified a “happiness paradox” and suggested that it might be related to the friendship paradox—perhaps your friends are also happier than you are because they are more popular. 

But in a new paper, a trio of researchers from the Santa Fe Institute and the University of Michigan, who study physics and networks, show that the truth of the friendship paradox isn’t as gloomy as it might seem. There are some networks where the friendship paradox doesn’t meaningfully manifest at all. The authors—George Cantwell, Alec Kirkley, and Mark Newman—confirmed this by comparing their mathematical results against over 30 real-world networks, including among jazz musicians, collaborating scientists, drug users, and dolphins. So, if you were ever bummed out in the way Feld suggested, cheer up—the reality is much more complicated than the headline. You might be more popular than one single number makes it seem.

Statisticians have long understood that there are different ways to compute the “average” of something, with different advantages and disadvantages. The method I described above—add up all of the values and divide by the number—is more technically known as the “mean.” One disadvantage of the mean is that it is particularly sensitive to extra values. This is often referred to as the Bill Gates effect: if 10 middle-class people are sitting in a bar and Bill Gates walks in, the average income in the bar jumps from five to nine digits. This jump doesn’t really show the real-world experience of the bar-goers, however. (Except they get to brag that they had a drink with Bill Gates.)

Similarly, Cantwell and his colleagues give the example of 1,000 people who are all friends with each other except two—call them Avital and Boris. Those two are friends with everyone else but not with each other. That means that 998 people will have 999 friends each, and 2 people will have 998 friends each. For most people, the net popularity will be:

999 – (999 + 999 + … + 999 + 998 + 998)/999 ≈ .002

But for Avital and Boris, the net popularity will be:

998 - (999 + 999 + … + 999 + 999 + 998)/999 ≈ -0.999

Due to the Bill Gates effect, the average net-popularity of the entire friend network will be pulled negative by Avital and Boris, despite everyone else in that network actually being more popular, on average, than their friends. 

The simplest way to choose a network at random is to pick a probability, say 25 percent, and give every two nodes an edge 25 percent of the time and no edge 75 percent of the time. This is called a Poisson random graph, after the French mathematician Siméon Poisson. Cantwell and his colleagues show that, although the mean net popularity of such a graph will usually be around -1, confirming the mathematical friendship paradox, in fact, a large fraction of the nodes will have positive net-popularity. As the average number of neighbors of a node gets large, the fraction of nodes with positive net-popularity gets closer and closer to 50 percent. For these graphs, as they say, “no meaningful ‘friendship paradox’ applies.”

So now we have a paradox of paradoxes; the friendship paradox is true mathematically, but very often has no practical consequence due to the Bill Gates effect. What should you do if you are worried about your popularity? Relax. Despite what Facebook tells us, it’s the quality of friendships that count, not the quantity, and certainly not your average popularity. Enjoy your time with whatever friends you have. And if you see Bill Gates, tell him to call me.

Kapsayıcı Ekonomik Kurumlar ve Güvence Altına Alınmış Özel Mülkiyet

Güney Kore’nin Kuzey Kore’yle ve Birleşik Devletler’in Latin Amerika’yla arasındaki zıtlık genel bir ilkeyi ortaya koyuyor. Kapsayıcı ekonomik kurumlar ekonomik etkinliği, verimlilik artışını ve ekonomik refahı teşvik eder. Güvence altına alınmış özel mülkiyet hakları yalnızca bu haklara sahip olanlar yatırım yapmaya istekli olacağı ve verimliliği artıracağı için esastır. Hasılatının çalınacağını, kamulaştırılacağını ya da vergi yoluyla hepsinin alınacağını düşünen bir iş adamının değil yatırım ve yenilik için, çalışmak için bile çok az isteği olacaktır. Fakat bu tür haklar toplumdaki insanların büyük kısmı için geçerli olmalıdır.

**

Güvence altına alınmış mülkiyet hakları, hukuk, kamu hizmetleri ve özgürlük; bunların hepsi devlete dayanır, yani düzen sağlamak için zorlayıcı gücü olan, hırsızlık ve yolsuzluğu önleyen ve özel şahıslar arasındaki sözleşmeleri uygulayan kuruma. İyi işlemesi için toplumun başka kamu hizmetlerine de ihtiyacı vardır; malların nakliyesi için yollara ve bir ulaştırma şebekesine, ekonomik faaliyetin gelişmesi için bir kamusal altyapı sistemine ve yolsuzluk ve suiistimalin önüne geçmek için bir tür temel düzenlemeye. Bu kamu hizmetlerinin çoğu piyasa ve özel şahıslar tarafından sağlanabilse de bunların geniş ölçekte uygulanabilmesi için gerekli koordinasyon düzeyi çoğunlukla merkezi bir otoriteyi zorunlu kılar. Bu nedenle devlet, düzenin, özel mülkiyetin, sözleşmelerin uygulayıcısı ve çoğu zaman kamu hizmetlerinin en büyük sağlayıcısı olarak ekonomik kurumlarla kaçınılmaz bir biçimde iç içe geçmiştir. Kapsayıcı kurumlar devlete ihtiyaç duyar ve onu kullanırlar.

Kuzey Kore’nin ya da sömürge Latin Amerika’nın –daha önce tanımladığımız mita, encomienda ya da repartimiento gibi– ekonomik kurumları bu özelliklere sahip değildir. Kuzey Kore’de özel mülkiyet yoktur. Sömürge Latin Amerika’da özel mülkiyet İspanyollar için geçerliydi, yerli halkın mülkiyet hakları son derece emniyetsizdi. Bu toplumların hiçbirinde geniş halk kitleleri istedikleri ekonomik kararları alamıyor, ekonomik bakımdan istedikleri gibi hareket edemiyordu; kitlesel baskıya maruz kalıyorlardı. Hiçbirinde devletin gücü refah düzeyini artıracak temel kamu hizmetlerinin sağlanması için kullanılmıyordu. Kuzey Kore’de devlet propaganda için bir eğitim sistemi inşa etti ancak kıtlığın önüne geçemedi. Latin Amerika’da devlet yerli halklara baskı yapmaya odaklanmıştı. Bu toplumların hiçbirinde eşit şartlara ya da tarafsız bir hukuk sistemine rastlanmıyordu. Kuzey Kore’de hukuk sistemi iktidardaki Komünist Parti’nin bir koludur, Latin Amerika’da ise halk kitlelerine ayrımcılık yapmak için kullanılan bir araçtı. Kapsayıcı olarak adlandırdıklarımızla karşıt özelliklere sahip bu gibi kurumlara sömürücü –toplumun belli bir kesiminin çıkarları için başka bir kesiminin gelir ve zenginliğini sömürdükleri için– kurumlar diyoruz.

**

Kapsayıcı ekonomik kurumlar, insanlara hem yeteneklerine en uygun mesleklerde çalışma özgürlüğü sunan hem de bunu yapabilmeleri için eşit şartlar sağlayan kapsayıcı piyasalar yaratır. İyi fikirleri olanlar iş kurabilir, işçiler daha verimli çalışabilecekleri faaliyetlere yönelebilir ve daha verimli şirketler daha az verimli olanların yerini alabilir.

**

Kapsayıcı ekonomik kurumlar refahın iki lokomotifine daha zemin hazırlarlar: Teknoloji ve eğitim. Sürdürülebilir ekonomik büyümeye neredeyse her zaman insan (emek), toprak ve sabit sermayenin (binalar, makineler vs.) daha verimli hale gelmesini sağlayan teknolojik yenilikler eşlik eder. Sadece 100 yıl kadar geriye gidelim ve bugün bizim kanıksadığımız uçaklardan, otomobillerden ya da çoğu ilaç ve sağlık hizmetinden yararlanma imkânı olmayan büyük-büyük-büyükbabalarımızı ve büyükannelerimizi düşünelim. Tabii sıhhi tesisattan, havalandırmadan, alışveriş merkezlerinden, radyodan, sinemadan söz etmiyoruz bile. Hele enformasyon teknolojisinden, robotbilimden ya da bilgisayar kontrollü makinelerden hiç bahsetmiyoruz. Bir iki kuşak daha geriye gidersek teknoloji ve yaşam standartları düzeyi daha da geriler; o kadar ki, çoğu insanın nasıl hayat mücadelesi verebildiğini bile anlamakta güçlük çekeriz. Bu ilerlemeler bilim ve Thomas Edison gibi kârlı bir iş kurmak için bilimi uygulamaya koyan girişimciler sayesinde kaydedildi. Bu yenilik süreci özel mülkiyeti teşvik eden, sözleşmeleri uygulamaya koyan, eşit şartlar sağlayan ve yeni teknolojileri hayata geçirecek yeni iş sahalarının kurulmasına olanak tanıyıp bunlara teşvik sunan ekonomik kurumlar sayesinde mümkün oldu. Bu nedenle ne Thomas Edison’ın Meksika ya da Peru’dan değil de Birleşik Devletler’den çıkması ne de günümüzde Samsung ve Daewoo gibi yenilikçi teknolojiler üreten şirketlerin Kuzey Kore yerine Güney Kore’den çıkması şaşırtıcı olmamalıdır.

Evde, işte ve okulda gerekli olan eğitim, beceri, yetenek ve teknik bilgi, teknolojiyle çok yakından ilgilidir. 100 yıl öncekinden çok daha üretken olmamızın nedeni makinelerle somutlaşan daha iyi teknolojiler değildir yalnızca; aynı zamanda işçilerin sahip olduğu daha ileri teknik bilgidir.

**

Fakat günümüzdeki teknolojik değişim hem mucitler hem de işçiler için eğitim gerektirmektedir. İşte burada eşit şartlar yaratan ekonomik kurumların önemini görürüz. Birleşik Devletler Bill Gates, Steve Jobs, Sergey Brin, Larry Page, Jeff Bezos ve benzerlerini ve de bu girişimcilerin üzerine iş kurdukları enformasyon teknolojisi, nükleer enerji, biyoteknoloji ve daha başka alanlarda önemli keşifler yapmış yüzlerce bilim insanını yetiştirebilir ya da başka ülkelerden kendine çekebilir. Birleşik Devletler’deki çoğu genç, diledikleri ya da becerebildikleri kadar eğitim olanağına sahip oldukları için faydalanılmayı bekleyen bir yetenek arzı söz konusudur. Bir de nüfusun büyük kısmının okula gidecek imkânının olmadığı, gitmeyi başarsalar bile eğitimin içler acısı durumda olduğu ve öğretmenlerin okula gelmediği, gelseler dahi belki de kitap bulamayacakları Kongo ya da Haiti gibi farklı bir ülke düşünün.

Fakir ülkelerin düşük eğitim düzeyi, ebeveynlere çocuklarını eğitmeleri için teşvik yaratmayı başaramayan ekonomik kurumlardan ve devleti okullar inşa etmesi, onları finanse edip desteklemesi ve ebeveynlerle çocukların taleplerini karşılaması için hükümeti harekete geçirmeyi başaramayan siyasal kurumlardan kaynaklanır. Bu ülkelerin düşük eğitim düzeyleri ve kapsayıcı piyasalarının olmayışı için ödedikleri bedel ise çok ağırdır. Genç yetenekleri harekete geçirmeyi başaramazlar. Hiçbir zaman hayattaki yerlerini keşfedecek fırsatları olmadığı için şimdi az eğitim görmüş birer çiftçi olarak çalışan, yapmayı istemedikleri şeyleri yapmaya zorlanan ya da askere alınan pek çok potansiyel Bill Gates’leri ve belki de bir ya da iki Albert Einstein’ları vardır.

**

Güç dağılımı yeterince eşit değilse ve sınırlandırılmamışsa siyasal kurumlar mutlakiyetçidir, tıpkı tarih boyunca dünyanın dört bir yanında hüküm süren mutlak monarşiler gibi. Kuzey Kore ya da sömürge dönemi Latin Amerika’sındaki örnekler gibi mutlakiyetçi siyasal kurumların mevcut olduğu koşullarda bu gücü ellerinde tutanlar hem toplumun sırtından zenginleşmelerini sağlayacak hem de güçlerini artıracak ekonomik kurumlar inşa edebilirler. Buna karşılık, gücü toplumun geniş kesimlerine dağıtan ve ona sınırlama getiren siyasal kurumlar çoğulcudur. Siyasal güç tek bir kişinin ya da dar bir grubun eline geçeceğine geniş tabanlı bir koalisyonun elinde kalır.